Fluctuations du mode de flexion et stabilité structurelle de nanorubans de graphène (1)

  INTRODUCTION

  L’interaction entre les déformations du réseau et la dynamique des électrons est un élément important à prendre en compte pour comprendre et contrôler les propriétés électroniques des futurs dispositifs au graphène. D'un côté, une contrainte externeappliqué au graphène produit un champ pseudomagnétique dont l’effet a d’abord été prévu théoriquement, puis déterminé expérimentalement.2 Il pourrait s’agir du point de départ d’un champ appelé contrainte mécanique, à savoir le contrôle de lapropriétés électroniques en appliquant une contrainte mécanique. D'autre part, l'ondulation intrinsèque observée depuis les premières expériences sur des échantillons de graphène en suspension affecte la mobilité des électrons. Les fluctuations sur cette ondulation,appelés phonons de flexion, ont été proposées comme étant la source de la limite intrinsèque de la mobilité électronique3 et, bien sûr, le contrôle de ces ondulations est un point important à aborder.

  Lorsque la dimensionnalité est réduite, les fluctuations de hauteur sont amplifiées du fait de la tendance connue aux instabilités dans les petites dimensions. Nous nous attendons à ce que les rubans épais à géométrie quasi-unidimensionnelle aient des fluctuations thermiques plus fortes quesystèmes à deux dimensions. Ces fluctuations peuvent avoir des effets importants sur le transport électronique et le mécanisme devrait être identifié afin de contrôler et de gérer les propriétés électroniques des nanorubans de graphène.

  Le présent article a pour objectif d’étudier les excitations thermiques dans des nanorubans de graphène. Nous prenons comme point de départ un modèle de continuum nous permettant de prendre en compte les phonons acoustiques à longue longueur d'onde. Notre objectif est de comprendre comment leLes modes de vibration sont affectés par différentes conditions aux limites et par la manière dont ces vibrations affectent le boîtier plat statique. Nous analysons ces points en calculant les phonons de flexion hors du plan et les fonctions de corrélation hauteur-hauteurpour deux situations différentes: bords pincés et bords libres.

  La conductivité thermique des phonons joue un rôle intéressant dans la physique des graphènes. Les mesures4 montrent que le graphène pourrait être l’un des meilleurs conducteurs de chaleur jamais connus, avec une conductivité thermique K atteignant 5 000 W / mK à la température ambianteéchantillons suspendus. Ces résultats pourraient ouvrir de nouvelles applications pour le contrôle thermique en nanoélectronique. De plus, les valeurs expérimentales pour K ne coïncident pas 5 et il n’ya pas d’accord sur le type de phonons (in-plane ou out of the phonons).plan) produisent la contribution dominante à K.6 Notre étude pourrait éclairer le rôle des modes de flexion dans les nanorubans de graphène. Nous discuterons de ce point dans les sections suivantes.

Ce document est organisé comme suit: In Sec. II nous introduisons le modèle hamiltonien en prenant une limite de continuum d’une surface attachée avec une énergie de flexion. Nous discutons également de la manière dont les conditions aux limites appropriées peuvent être prises en compte.

  En Sec. III nous présentons un formalisme général basé sur une intégrale de chemin pour obtenir les fonctions de corrélation. En secondes. IV et V nous obtenons le spectre phononique hors du plan et les fonctions de corrélation, en analysant leurs conséquences. Finalement,dans la Sec. VI nous donnons nos conclusions et perspectives.

  LE MODÈLE ET LES CONDITIONS DE LIMITES

  Le graphène à une couche et à quelques couches sont des systèmes d'épaisseur à l'échelle atomique. En tant que tel, une théorie de continuum élastique pour des plaques épaisses ne peut pas être utilisée directement. Cependant, leurs propriétés mécaniques, la formation de rides et le phononspectre, base de l'interaction électron-phonon, sont bien décrits par la forme d'énergie élastique de plaques épaisses. La clé pour comprendre ce fait est que la rigidité à la flexion dans le graphène ne provient pas des compressions etdilatations du milieu continu liées par des surfaces libres. Par conséquent, le paramètre de rigidité à la flexion ne peut pas être obtenu à partir des paramètres élastiques du milieu; c'est plutôt une quantité indépendante.7 On pense que la flexionLa rigidité dans le graphène est due aux termes d’angle et d’ordre de liaison associés aux angles dièdres des interactions sous-jacentes C-C.8

  Cette distinction a une signification particulière en présence d'arêtes, comme dans le cas des rubans que nous considérons dans cet ouvrage. Pour concrétiser la discussion, nous partons d’une surface captive simplifiée avec de l’énergie de flexion, qui aété introduite dans les études sur les membranes.9 Le modèle hamiltonien estoù ni est le vecteur unitaire normal au ième site du réseau et j est son plus proche voisin. Nous utilisons κ¯ comme paramètre de rigidité à la flexion dans le modèle en réseau.

  Jusqu'à présent, nous n'avons pas spécifié le domaine d'intégration ni les conditions aux limites physiques pour notre problème. Nous considérons un ruban long et étroit de largeur W et de longueur L longeant la direction y.

  Utilisez des conditions aux limites périodiques dans la direction y. Par conséquent, le terme de surface correspondant à la dernière ligne de Eq. disparaît.

  Le premier terme est proportionnel au carré de la courbure moyenne et le dernier à la courbure gaussienne, tous deux écrits selon l'approximation harmonique. En termes de courbures, Eq. est connu comme la forme de Helfrich de la flexionénergie d'une membrane liquide.

  Les termes multipliant h (x = ± 2, y) et ∂xh (x = ± 2, y) peuvent être interprétés comme la force et le couple sur le bord du ruban. Mettre ces termes à zéro signifie avoir des arêtes libres, et les conditions aux limites sont alors la courbure est unterme dérivé total qui a été négligéintégrer sur tous les chemins remplissant les conditions aux limites (8) ou (9).

Il est commode d'élargir le chemin à la base des fonctions propres de l'opérateur O. En raison de la condition de limite périodique dans le sens long, nouspeut séparer sa dépendance y. Les fonctions propres prennent la forme

FIGUE. 1. (Couleur en ligne) Courbes de dispersion données par les fonctions λ¯ (q¯) pour le ruban collé. Nous montrons les sept premières branches du spectre, qui en contient un nombre infini. Dans l'encadré, nous montrons un zoom de la bassespectre d'énergie pour les deux premières branches.

Après les approximations. La première branche de la figure 1 peut êtreajusté par une fonction de la forme λ¯ 0 (q¯) / a0 + a1q¯2 + a2q¯ 4,avec a0 = 500, a1 = 24 et a2 = 0,972. Si on néglige lefaible dépendance des fonctions propres sur q¯m en éq. (16), la dépendance en y de la corrélation est donnée par la transformée de Fourier suivante:

(h¯ (x¯1, y¯) h¯ (x¯2,0))

= f 0 (x¯1) f 0 (x¯2)

FIGUE. 2. (Couleur en ligne) Carré des fonctions propres normalisées

m (x¯) pour les trois premières branches du spectre dans le blocruban. Ces calculs sont faits pour q¯ = 6π.

  Comme indiqué à la fin de la seconde, les quantités Cn représentent les constantes de normalisation. Les graphes pour (f n (x¯)) 2 avec n = 0, 1, 2 et q¯m = 6π sont représentés à la Fig. 2. Comme indiqué dans Ref, il existe un intervalle dans le spectre et le mode d'énergie zéron'existe pas pour q¯m = 0. Cela est lié au fait que les traductions globales ne sont pas autorisées car le ruban est pincé sur les bords. L’écart dans la première branche se comporte comme un A ∼ 22,3 (dans les unités originales) approchant du zérovaleur pour la feuille carrée infinie. Nous nous attendons à ce que les corrélations hauteur-hauteur en différents points se décroissent de manière exponentielle, ce qui est effectivement le cas. Sur la figure 3, nous montrons la valeur de κ (h¯ (0,25, y¯) h¯ (0,25,0)) qui suit la direction y.et évalué numériquement à partir de l'équation. (16). La contribution des trois premières branches est indiquée. Au fur et à mesure que le fossé augmente, nous allons dans les branches à énergie plus élevée, les contributions des corrélations correspondantes deviennent de plus en plus petites.

  Une décroissance rapide des corrélations est observée à une distance de l'ordre de W. En fait, nous pouvons estimer la longueur de corrélation caractéristique avec le

× [α sin (qR y¯) + β cos (qR y¯)], (22)

où α = 0,00499, β = 0,00271 et qR + iqI = 2,273 + i4,185 est un zéro du dénominateur de Eq. (21). La décroissance de la corrélation est clairement dominée par le terme exponentiel. Son échelle caractéristique, à savoir la longueur de corrélation,est

= W / 4.185 (dans les unités d'origine).

  Nous voyons qu'il est possible de contrôler l'extension de la corrélation hauteur-hauteur en modifiant la largeur du ruban. Si l’on associe cette fluctuation thermique à l’ondulation, ces résultats impliquent que la taille caractéristique de lala région ridée croît linéairement avec la largeur des rubans. Dans la Fig. 4, nous montrons les valeurs de (h¯2 (x¯, y¯)) pour les trois premières branches de la Fig. 1. La contribution dominante provenant de la première branche produit une distorsion maximale à lacentre des rubans. Les autres branches produisent des distorsions périodiques en fonction de la forme des fonctions propres f n (x¯), comme indiqué à la Fig. 2. Le nombredes nœuds est exactement n + 2, y compris ceux sur les bords.

  Discutons de l’utilisation possible des résultats précédents pour clarifier la contribution relative des phonons dans le plan et en flexion sur la conductivité thermique intrinsèque du graphène. L'espace dans le spectre de phonons pour les rubans serrésimplique qu’il n’existe pas de phonons acoustiques, ce qui conduit à une forteréduction de K. Cependant, comme indiqué dans la réf. 13, cet écart est en réalité très petit pour des valeurs réalistes de W. En fait, pour W = 30 nm, l’écart est AOP = 7,9 µeV. Comme symétrie de traduction

FIGUE. 3. (Couleur en ligne) Hauteur-hauteur κ (h¯ (0.25, y¯) h¯ (0.25,0))

corrélation en fonction de la distance dans le sens long, pour le ruban serré. Les contributions des trois premières branches sont indiquées séparément. La ligne pointillée représente l'approximation donnée par Eq. (22). La longueur deles rubans sont L = 1000 et sa largeur W = 100.

  FIGUE. 4. (Couleur en ligne) Moyenne du carré de la hauteur κ (h¯ (x¯, y¯) 2) en fonction de x¯, la distance au centre pour le ruban collé.

  Nous montrons les contributions des trois premières branches. La longueur des rubans est L = 1000 et sa largeur W = 100. Elle est cassée dans toutes les directions. Il existe également un espace pour les phonons dans le plan. Il a été estimé dans la réf. 13 pour être AIP = 1meVpour un ruban de même largeur, beaucoup plus élevé que le AOP. Pour des températures suffisamment inférieures à RT, nous nous attendons à ce que les phonons hors de l'avion soient excités, mais pas aux modes dans le plan correspondants. Si les déterminations futures de K (T) dans serréles échantillons montrent une réduction à basse température, nous concluons que ces phonons ne sont pas tout à fait pertinents pour la conductivité thermique comme le prétendent de précédents travaux